A todos los del 1° d les deseo que se la pasen muy bien con sus familiares y amigos, en esta navidad que en esta navidad les deseo lo mejor a ustedes y a sus familias .
¡FELIZ NAVIDAD Y PROSPERO AÑO NUEVO!
P.D: Que se la pasen muy bien en estas fiestas
lunes, 29 de diciembre de 2008
sábado, 27 de diciembre de 2008
FELIZ AÑO NUEVO
Hola de nuevo espero que este año haya sido de su agrado y que el proximo y todos los que nos quedan por convivir juntos sean favorables en todos los aspectos
LOS QUIERO MUCHO A TODOS LOS DEL PRIMERO "D"!!!!
lunes, 22 de diciembre de 2008
Feliz navidad
Que pase una bonita navidad con su familia y recuerde esto el mejor regalo de navidad es el amor de su familia
sábado, 20 de diciembre de 2008
proporcionalidad numerica
-La proporcionalidad está presente en muchos aspectos de la vida cotidiana. La cantidad de cada ingrediente en una tarta y el número de comensales... son situaciones de proporcionalidad.
En una clase en la que hay 10 chicos y 15 chicas, se quiere organizar un concurso en el que compiten chicos contra chicas. ¿Será justo?
Es evidente que no es justo, pues la relación entre chicos y chicas es 10 a 15.
María juega al baloncesto y casi siempre encesta 7 de cada 10 tiros libres.
La relación entre el número de aciertos y el número de tiros es 7 a 10.
En un concurso en el que participan 16 personas, sólo se darán tres premios; por tanto, la relación entre los premios y los concursantes es 3 a 16.
Hay una forma de expresar matemáticamente esta relación, y es a través de un cociente.
Una razón entre dos números a y b es el cociente a b .
Al número a se le llama antecedente y a b consecuente.
En una clase en la que hay 10 chicos y 15 chicas, se quiere organizar un concurso en el que compiten chicos contra chicas. ¿Será justo?
Es evidente que no es justo, pues la relación entre chicos y chicas es 10 a 15.
María juega al baloncesto y casi siempre encesta 7 de cada 10 tiros libres.
La relación entre el número de aciertos y el número de tiros es 7 a 10.
En un concurso en el que participan 16 personas, sólo se darán tres premios; por tanto, la relación entre los premios y los concursantes es 3 a 16.
Hay una forma de expresar matemáticamente esta relación, y es a través de un cociente.
Una razón entre dos números a y b es el cociente a b .
Al número a se le llama antecedente y a b consecuente.
jueves, 18 de diciembre de 2008
Decimos que las cantidades son proporcional porque cumplen con lo siguiente:si a y b y c y d son proporcionales,entonces: a\b=c\d=r
En otras palabras,r es el cociente de dividir a entre b y también es el cociente de dividir c entre d.A r se le llama factor de proporcionales: b entre a o=r d entre c o=r
La devoción se puede ver como un caso particular de proporcionalidad de la siguiente manera:dividir a entre b es encontrar un valor x de tal suerte que las cantidades a y b y x y 1 sean proporcionales,pues a\b=x\1
Si tenemos en cuenta que x es lo mismo que x\1,la anterior igualdad significa que el cociente de a entre b es x.Por lo anterior,visto desde el punto de la proporcionalidad,x es el valor unitario o unidad de medida.
En otras palabras,r es el cociente de dividir a entre b y también es el cociente de dividir c entre d.A r se le llama factor de proporcionales: b entre a o=r d entre c o=r
La devoción se puede ver como un caso particular de proporcionalidad de la siguiente manera:dividir a entre b es encontrar un valor x de tal suerte que las cantidades a y b y x y 1 sean proporcionales,pues a\b=x\1
Si tenemos en cuenta que x es lo mismo que x\1,la anterior igualdad significa que el cociente de a entre b es x.Por lo anterior,visto desde el punto de la proporcionalidad,x es el valor unitario o unidad de medida.
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
a) Para obtener la formula del área de un trapecio se duplica este trazando una paralela a cada una de los lados. Cada una pasa por un vértice opuesto a cada lado, obteniéndose así un paralelogramo de la figura original, pero con el doble de área.
c) La formula del área de un triangulo se duplica invirtiendo la figura y ensamblándola de modo que se obtenga un paralelogramo con el área doble.
d) Para determinar la formula del área de un paralelogramo se transforma en un rectángulo equivalente con la misma base y altura.
b) La formula del área de un rectángulo es simplemente el producto de la base por la altura.
c) La formula del área de un triangulo se duplica invirtiendo la figura y ensamblándola de modo que se obtenga un paralelogramo con el área doble.
d) Para determinar la formula del área de un paralelogramo se transforma en un rectángulo equivalente con la misma base y altura.
miércoles, 17 de diciembre de 2008
fracciones equivalentes
una fraccion equivalente es cuando una fraccion es igual a una diferente
http://www.youtube.com/watch?v=3DcLjk_cG7E
http://www.youtube.com/watch?v=3DcLjk_cG7E
LOS TRIANGULOS:
Un triángulo es un poligono que tiene tres lados y tres ángulos. De acuerdo a la longitud de sus lados y al tipo de los ángulos que tiene podemos clasificar en:
SEGÚN SUS LADOS
ESCALENO: un triángulo escaleno no tiene sus tres lados congruentes por lo tanto tampoco sus ángulos son iguales.
ISOCELES: un triángulo isósceles tienen dos lados congruentes. Los ángulos opuestos a estos lados iguales serán congruentes.
EQUILATERO: un triángulo equilátero tiene sus tres lados congruentes por lo tanto sus ángulos será también congruentes.
SEGÚN SUS ÁNGULOS
ACUTANGULO: un triángulo acutángulo tiene sus tres ángulos agudos.
OBTUSANGULO: un triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo obtuso será el de mayor longitud.
RECTANGULO: un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se denominan catetos.
SEGÚN SUS LADOS
ESCALENO: un triángulo escaleno no tiene sus tres lados congruentes por lo tanto tampoco sus ángulos son iguales.
ISOCELES: un triángulo isósceles tienen dos lados congruentes. Los ángulos opuestos a estos lados iguales serán congruentes.
EQUILATERO: un triángulo equilátero tiene sus tres lados congruentes por lo tanto sus ángulos será también congruentes.
SEGÚN SUS ÁNGULOS
ACUTANGULO: un triángulo acutángulo tiene sus tres ángulos agudos.
OBTUSANGULO: un triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo obtuso será el de mayor longitud.
RECTANGULO: un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se denominan catetos.
poligonos Y los perimetros.
POLIGONOS:
Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono. Las figuras pueden dividirse en dos grandes grupos: cóncavas y convexas.
PERIMETROS:
Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.
curiosidades sobre el número 9
matemáticas
Cualquier número multiplicado por 9 da otro número cuyas cifras suman 9 o un múltiplo de 9, es decir que puede reducirse a 9 al sumar nuevamente las cifras.
9 x 1 = 9
9 x 2 = 18
1 + 8 = 9
9 x 3 = 27
2 + 7 = 9
9 x 4 = 36
3 + 6 = 9
...
9 x 11 = 99
9 + 9 = 18
1 + 8 = 9
...
9 x 427 = 3843
3 + 8 + 4 + 3 = 18
1 + 8 = 9
...
El juego "adivinando el pensamiento" se basa precisamente en esta propiedad.
Truco para aprender la tabla del 9
Una forma sencilla de aprender la tabla del 9 es contar los dedos de las manos tal y como se indica en el dibujo. Si se extienden las dos manos y se baja el dedo que ocupa el lugar por el que queremos multiplicar por 9, el resto de dedos que nos quedan extendidos nos dará el resultado, de tal forma que los que quedan a la izquierda del dedo bajado representan las decenas y los que nos quedan a la derecha las unidades.
Cualquier número multiplicado por 9 da otro número cuyas cifras suman 9 o un múltiplo de 9, es decir que puede reducirse a 9 al sumar nuevamente las cifras.
9 x 1 = 9
9 x 2 = 18
1 + 8 = 9
9 x 3 = 27
2 + 7 = 9
9 x 4 = 36
3 + 6 = 9
...
9 x 11 = 99
9 + 9 = 18
1 + 8 = 9
...
9 x 427 = 3843
3 + 8 + 4 + 3 = 18
1 + 8 = 9
...
El juego "adivinando el pensamiento" se basa precisamente en esta propiedad.
Truco para aprender la tabla del 9
Una forma sencilla de aprender la tabla del 9 es contar los dedos de las manos tal y como se indica en el dibujo. Si se extienden las dos manos y se baja el dedo que ocupa el lugar por el que queremos multiplicar por 9, el resto de dedos que nos quedan extendidos nos dará el resultado, de tal forma que los que quedan a la izquierda del dedo bajado representan las decenas y los que nos quedan a la derecha las unidades.
felices vacaciones
les deseo unas muy felices vacaciones a todos y que se la pasen en compañia de sus seres queridos tanto en sus vacaciones como en la navidad.
martes, 16 de diciembre de 2008
proporcioinalidades
Un día en la escuela hubo una convivencia en donde un grupo de 5 amigos compraron una pizza.Escribe las posibilidades para repartir matematicamente la pizza,auxiliate de la siguiente información.
Luis $40.00 Paco $20.00 Pedro $30.00 Alma $10.00 Ana $20.00
·regla de tres (porcentaje)
·Grados
REGLA DE TRES (PORCENTAJES)
Luis=33.3% Paco=16.6% Pedro=25% Alma=8.3% Ana=16.6%
120-100% 120-100% 120-100% 120-100% 120-100%
40-x 20-x 30-x 10-x 20-x
GRADOS
Luis=120º Paco=60º Pedro=90º Alma=30º Ana=60º
120-360º 120-360º 120-360º 120-360º 120-360º
40-x 20-x 30-x 10-x 20-x
Luis $40.00 Paco $20.00 Pedro $30.00 Alma $10.00 Ana $20.00
·regla de tres (porcentaje)
·Grados
REGLA DE TRES (PORCENTAJES)
Luis=33.3% Paco=16.6% Pedro=25% Alma=8.3% Ana=16.6%
120-100% 120-100% 120-100% 120-100% 120-100%
40-x 20-x 30-x 10-x 20-x
GRADOS
Luis=120º Paco=60º Pedro=90º Alma=30º Ana=60º
120-360º 120-360º 120-360º 120-360º 120-360º
40-x 20-x 30-x 10-x 20-x
fracciones
FRACCIONES PROPIAS: son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, por lo tanto , son menores que la unidad.
FRACCIONES APARENTES: son aquellas en las que el numerador es igual al denominador por lo tanto, son iguales a la unidad.
FRACCIONES IMPROPIAS: son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador, por lo tanto, son mayores a la unidad.
FRACCIONES DECIMALES: son aquelas en las que el denominador es 10,100,1000,etc.., osea la unidad segida de ceros.
FRACCIONES APARENTES: son aquellas en las que el numerador es igual al denominador por lo tanto, son iguales a la unidad.
FRACCIONES IMPROPIAS: son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador, por lo tanto, son mayores a la unidad.
FRACCIONES DECIMALES: son aquelas en las que el denominador es 10,100,1000,etc.., osea la unidad segida de ceros.
Números decimales
1- Expresa las razones que te llevan a proponer que a cierto numero le corresponde uno de los símbolos . Algo se te debe ocurrir . Piensa en las semejansas que existen con nuestro sistema decimal . Escribe tus justificaciones :
R: QUE CADA NUMERO TIENE SU SÍMBOLO ESPECIFICO
Nuestro sistema de numeración: Los números que has aprendido a usar desde la primaria hasta a hora constituyen un sistema de numeración, o sea, un conjunto de símbolos y de reglas que sirven para representar cantidades. El sistema de numeración está formado por diez símbolos:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Decenas de millar.(dm)
Unidades de millar. (um)
Centenas
(c)
Decenas
(d)
Unidades
(u)
7
3
1
0
3
3×1:3
0×10:0
1×100:100
3×1000:3000
7×10000:70000
¿Qué hiciste para completar la tabla de arriba?
R: TRATAR DE UTILIZAR LOS NÚMEROSDECIMALES COMO GUÍA PARA RESOLVER LA TABLA.
2- Utiliza los esquemas para escribir el valor numérico que representa cada digito en el número dado:
A) El número 5174: ?
B) El número 9706: ?
NUMEROS DECIMALES
Los números fraccionarios decimales pueden expresarse en otra forma llamada número decimal. A su vez, los números decimales podrán también expresarse como fracciones. Las fracciones impropias están formadas por una parte entera y una parte fraccionaria. En cambio, las fracciones propias sólo tendrán parte fraccionaria ya que su parte entera es igual a cero .
R: QUE CADA NUMERO TIENE SU SÍMBOLO ESPECIFICO
Nuestro sistema de numeración: Los números que has aprendido a usar desde la primaria hasta a hora constituyen un sistema de numeración, o sea, un conjunto de símbolos y de reglas que sirven para representar cantidades. El sistema de numeración está formado por diez símbolos:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Decenas de millar.(dm)
Unidades de millar. (um)
Centenas
(c)
Decenas
(d)
Unidades
(u)
7
3
1
0
3
3×1:3
0×10:0
1×100:100
3×1000:3000
7×10000:70000
¿Qué hiciste para completar la tabla de arriba?
R: TRATAR DE UTILIZAR LOS NÚMEROSDECIMALES COMO GUÍA PARA RESOLVER LA TABLA.
2- Utiliza los esquemas para escribir el valor numérico que representa cada digito en el número dado:
A) El número 5174: ?
B) El número 9706: ?
NUMEROS DECIMALES
Los números fraccionarios decimales pueden expresarse en otra forma llamada número decimal. A su vez, los números decimales podrán también expresarse como fracciones. Las fracciones impropias están formadas por una parte entera y una parte fraccionaria. En cambio, las fracciones propias sólo tendrán parte fraccionaria ya que su parte entera es igual a cero .
Glosario de matemáticas
Geometría: f. disciplina matemática que estudia el espació y las figuras y los cuerpos que se pueden formar.
Mediatriz: Geom.. Perpendicular levantada en un punto medio de un segmento de de la recto.
Segmento: parte de un circulo comprendida entre un arco y su cuerda.
Ángulo: posición del plano comprendida entre dos semirrectas con el mismo origen.
Triangulo: Polígono de tres lados.
Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados.
Regla: Instrumentó para trazar líneas o efectuar medidas.
Compás: Instrumentó para trazar curvas y medir distancias.
lunes, 15 de diciembre de 2008
Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo hasta el siglo XVII -¡2000 años! para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaba para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado - en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió escencialmente en el siglo XVII. Comenzaremos por tanto desde el principio.
Como ya es habitual comenzaremos por un filósofo. En este caso Aristóteles. Ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algun modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos. Ese alguien fue nada más y nada menos que Aristóteles. Lo que hizo fue prohibir el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuancias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente [...] es por adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fué Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo de Aristotéles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.
No obstante, fue obviamente Arquímedes el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente -o quiza por suerte, quién sabe- su método se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método "mecánico" donde además se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 como ya hemos tenido ocasión de contar en la sección dedicada a los griegos-. La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos. Habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar de esa manera los infinitos. De hecho Leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de Pascal donde éste usaba un método semejante. Como primer libro de esta sección colocaremos, por tanto, la Opera Omnia de Arquímedes que ya vimos antes. Se trata de la edición de 1911 debida a Heiberg. Esta abierta justo en la página donde Arquímedes describe el método de sus infintos segmentos para cuadrar la parábola usando una palanca y moviendo convenientemente los correspondientes segmentos hasta que ambas figuras, triángulo y parábola quedasen equilibradas.
Como ya es habitual comenzaremos por un filósofo. En este caso Aristóteles. Ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algun modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos. Ese alguien fue nada más y nada menos que Aristóteles. Lo que hizo fue prohibir el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuancias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente [...] es por adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fué Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo de Aristotéles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.
No obstante, fue obviamente Arquímedes el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente -o quiza por suerte, quién sabe- su método se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método "mecánico" donde además se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 como ya hemos tenido ocasión de contar en la sección dedicada a los griegos-. La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos. Habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar de esa manera los infinitos. De hecho Leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de Pascal donde éste usaba un método semejante. Como primer libro de esta sección colocaremos, por tanto, la Opera Omnia de Arquímedes que ya vimos antes. Se trata de la edición de 1911 debida a Heiberg. Esta abierta justo en la página donde Arquímedes describe el método de sus infintos segmentos para cuadrar la parábola usando una palanca y moviendo convenientemente los correspondientes segmentos hasta que ambas figuras, triángulo y parábola quedasen equilibradas.
domingo, 14 de diciembre de 2008
tareas 20 y 21
Técnica Tarea Nº 20
ESCUADRA | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
NUMERO ESCUADRA | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
Números cuadrados: Son el número de puntos que sirven para representar una secuencia creciente de cuadrados.
. . . . .
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. . . . . . . . . . . .
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Cuadrado | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Numero Cuadrado | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
Tarea Nº 21
. . . | . . . . . . . . . | . . . . . . . . . . . . | . . . . . . . . . . . . . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Rectángulo | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Número Rectangular | 3 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 |
tecnica N.4
1.-TRANSFORMAA DECIMAL EL SIGUIENTE NUMERO VINARIO 100010
R-34
2.-TRANSFORMA A DECIMAL EL SIGUIENTE NUMERO VINARIO 1011010
R-90
3.-TRANSFORMA A VINARIO EL SIGUIENTE NUMERO DECIMAL 55
R-110111
4.-ESCRIBECON LETRALA CANTIDAD796,251
R-SETECIENTOS NOVENTA Y SEIS MIL DOCIENTOS CINCUENTA Y UNO
R-34
2.-TRANSFORMA A DECIMAL EL SIGUIENTE NUMERO VINARIO 1011010
R-90
3.-TRANSFORMA A VINARIO EL SIGUIENTE NUMERO DECIMAL 55
R-110111
4.-ESCRIBECON LETRALA CANTIDAD796,251
R-SETECIENTOS NOVENTA Y SEIS MIL DOCIENTOS CINCUENTA Y UNO
sábado, 13 de diciembre de 2008
Una fracción mixta se puede transformar en una fracción impropia. Primero se multiplica la parte entera por el denominador de la fracción y a este resultado se la suma el numerador, se obtiene así el numerador de la fracción impropia. El denominador de la fracción impropia que buscamos es el mismo que el de la parte fraccionaria de la fracción mixta original.
2. Convierte la siguiente fracción en una fracción impropia.
11 9/3 = 152/13
2. Convierte la siguiente fracción en una fracción impropia.
11 9/3 = 152/13
SAGACIDAD APRUEBA
1. Yaser y Rajid se asociaron para poner un puesto de venta de alimentos, aguas y dátiles en un parque. Comenzaron invirtiendo $ 1000; Yaser puso 350 y Rajid 650. Después de un mes de trabajo obtuvieron una ganancia de $ 3200. Suponiendo que uno trabajo tanto como el otro, ¿cómo deben dividirse esa ganancia? R = Se deben dividirse las ganancias entre 1600
a) ¿Piensas que encontrando los valores proporcionales en la siguiente tabla se obtendrá la solución? R= si
Inversión
350
650
1000
Ganancia
1120
2080
3200
¿Por qué? R= se usa la regla de tres, también 350 y 650 equivale o es igual a 1000 y equivale al 100 %.
viernes, 12 de diciembre de 2008
Tarea 3: Distancia de los planetas al Sol y la superficie de los continentes
Planeta Distancia al Sol en un momento Diatancia al Sol
Mercurio Cincuenta y siete millones novecientos treinta 57 934 700 km
y cuatro mil setecientos kilómetros
Venus Ciento ocho millones doscientos mil 108 207 400 km
cuatrocientos kilómetros
Tierra Ciento cuarenta y nueve millones seiscientos 149 605 200km
cinco mil doscientos kilómetros
Marte Doscientos veintisiete millones novecientos 227 917 300 km
diesisiete mil trescientos kilómetros
Jupiter Setecientos setenta y ocho millones cuatocientos 778 400 000 km
mil kilómetros
Saturno Mil cuatrocientos veintinueve millones cuatrocientos 1400 29 400 km
mil kilómetros
Urano Dos millones ochocientos setenta y cinco mil kilómetros 2 875 000 km
Neptuno Cuatro mil quinientos cuatro millones trescientos mil 4 504 300 km
kilómetros
Plutón Cinco millones novecientos trece mil quinientos 5 913 500 km
kilómetros
Continente Superficie territorial Superficie territorial
Africa Treinta millones trescientos cuarenta y 30 347 700 km
siete mil setecientos kilómetros cuadrados
América Cuarenta y dos millones doscientos cuarenta 42 247 750 km
y siete mil kilómetros cuadrados
Asia Treinta y un millones novecientos treinta y 31 936 220 km
seis mil doscientos veinte kilómetros
cuadrados
Europa Diez millones quinientos treinta mil 10 530 750 km
setecientos cincuenta kilómetros
cuadrados
Oceanía Ocho millones quinientos cinco mil setenta 8 505 070 km
kilómetros cuadrados
Antártida Trece millones doscientos nueve mil kilómetros 13 209 000km
cuadrados
Mercurio Cincuenta y siete millones novecientos treinta 57 934 700 km
y cuatro mil setecientos kilómetros
Venus Ciento ocho millones doscientos mil 108 207 400 km
cuatrocientos kilómetros
Tierra Ciento cuarenta y nueve millones seiscientos 149 605 200km
cinco mil doscientos kilómetros
Marte Doscientos veintisiete millones novecientos 227 917 300 km
diesisiete mil trescientos kilómetros
Jupiter Setecientos setenta y ocho millones cuatocientos 778 400 000 km
mil kilómetros
Saturno Mil cuatrocientos veintinueve millones cuatrocientos 1400 29 400 km
mil kilómetros
Urano Dos millones ochocientos setenta y cinco mil kilómetros 2 875 000 km
Neptuno Cuatro mil quinientos cuatro millones trescientos mil 4 504 300 km
kilómetros
Plutón Cinco millones novecientos trece mil quinientos 5 913 500 km
kilómetros
Continente Superficie territorial Superficie territorial
Africa Treinta millones trescientos cuarenta y 30 347 700 km
siete mil setecientos kilómetros cuadrados
América Cuarenta y dos millones doscientos cuarenta 42 247 750 km
y siete mil kilómetros cuadrados
Asia Treinta y un millones novecientos treinta y 31 936 220 km
seis mil doscientos veinte kilómetros
cuadrados
Europa Diez millones quinientos treinta mil 10 530 750 km
setecientos cincuenta kilómetros
cuadrados
Oceanía Ocho millones quinientos cinco mil setenta 8 505 070 km
kilómetros cuadrados
Antártida Trece millones doscientos nueve mil kilómetros 13 209 000km
cuadrados
miércoles, 10 de diciembre de 2008
La numeración egipcia
Los egipcios tenían un sistema de escritura basado en jeroglíficos desde el 3000 a.C. Los jeroglíficos son pequeños dibujos que representan palabras. Ellos representarían la palabra �pájaro� con un pequeño dibujo de un pájaro, pero sin un desarrollo adicional este sistema de escritura no puede expresar claramente muchas palabras. Los antiguos egipcios solucionaron este problema utilizando los sonidos hablados de las palabras. Por ejemplo, para explicarlo mejor con una frase, si decimos �escucho un perro ladrando� se representaría:
�una oreja�, �corteza de un árbol� + �cabeza con corona�, �un perro�. Naturalmente, el mismo símbolo puede tener diferentes significados según el contexto, por ejemplo �un ojo� puede significar �ver� mientras que �una oreja� puede significar �sonido�. Los egipcios tenían un sistema jeroglífico en base 10 para los números. Tenían un símbolo diferente para la unidad, la decena, un centenar, un millar, para diez millares, cien millares y un millón.
Los egipcios tenían un sistema de escritura basado en jeroglíficos desde el 3000 a.C. Los jeroglíficos son pequeños dibujos que representan palabras. Ellos representarían la palabra �pájaro� con un pequeño dibujo de un pájaro, pero sin un desarrollo adicional este sistema de escritura no puede expresar claramente muchas palabras. Los antiguos egipcios solucionaron este problema utilizando los sonidos hablados de las palabras. Por ejemplo, para explicarlo mejor con una frase, si decimos �escucho un perro ladrando� se representaría:
�una oreja�, �corteza de un árbol� + �cabeza con corona�, �un perro�. Naturalmente, el mismo símbolo puede tener diferentes significados según el contexto, por ejemplo �un ojo� puede significar �ver� mientras que �una oreja� puede significar �sonido�. Los egipcios tenían un sistema jeroglífico en base 10 para los números. Tenían un símbolo diferente para la unidad, la decena, un centenar, un millar, para diez millares, cien millares y un millón.
tecnica
El dia de hoy 10 de diciembre realizamos tecnica y estas son algunas preguntas ¿cuales son las lineas rectas que nunca se cruzan? R=las lineas paralelas ¿como se llama la poligono regular de 10 lados?R=decagono y otras preguntas como sacar el apotema de un pentagono yarea y perimetro de un triangulo
martes, 9 de diciembre de 2008
Historia del número π
Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado 8/9 del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14). "Uno de los documentos mas importantes de origen egipcio es el "Papiro Rhind" que data del siglo XVII a.C. En dicho papiro aparece un método para calcular el área de un círculo. Este conocimiento, según el copista, es anterior al siglo XIX a.C. La regla para calcular el área dice: tomar el diámetro. Restar la novena parte. De esta diferencia tomar nuevamente la novena parte y restar de la anterior. Multiplicar el resultado por el diámetro. Tal es el área del círculo."
"Pi, letra griega (π) usada en matemáticas como el símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 +1/7 y 3 + 10/71 . "
El valor asignado a pi surgía de un círculo cuyo diámetro era un número entero y su longitud un número muy próximo a otro entero. Trata de descubrir cuales eran estas dimensiones en el siguiente simulador, en donde variarás el valor del diámetro y observarás los valores de las longitudes de circunferencias correspondientes.
Efectivamente, se tomaba como referencia una circunferencia de diámetro igual a 7 y longitud muyyyy próxima a 22.
22/7 = 3,1428571
"En 1652, William Oughtred utilizó π /δ para referirse al cociente entre la circunferencia y el diámetro, usando sin duda la letra griega π (pi) para indicar la circunferencia o periferia y la letra δ(delta) para indicar el diámetro."
"El símbolo π fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés William Jones, pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737.
En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que pi es un número trascendente, esto es, no puede ser la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. De esta manera, Lindemann fue capaz de demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo algebraicamente o usando la regla y el compás.
Aunque pi es un número irracional, es decir, tiene un número infinito de cifras decimales, se puede calcular con la exactitud deseada utilizando series. Pi ha sido calculada con cien millones de cifras decimales utilizando ordenadores, aunque esta precisión carece de utilidad práctica."
"Pi, letra griega (π) usada en matemáticas como el símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 +1/7 y 3 + 10/71 . "
El valor asignado a pi surgía de un círculo cuyo diámetro era un número entero y su longitud un número muy próximo a otro entero. Trata de descubrir cuales eran estas dimensiones en el siguiente simulador, en donde variarás el valor del diámetro y observarás los valores de las longitudes de circunferencias correspondientes.
Efectivamente, se tomaba como referencia una circunferencia de diámetro igual a 7 y longitud muyyyy próxima a 22.
22/7 = 3,1428571
"En 1652, William Oughtred utilizó π /δ para referirse al cociente entre la circunferencia y el diámetro, usando sin duda la letra griega π (pi) para indicar la circunferencia o periferia y la letra δ(delta) para indicar el diámetro."
"El símbolo π fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés William Jones, pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737.
En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que pi es un número trascendente, esto es, no puede ser la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. De esta manera, Lindemann fue capaz de demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo algebraicamente o usando la regla y el compás.
Aunque pi es un número irracional, es decir, tiene un número infinito de cifras decimales, se puede calcular con la exactitud deseada utilizando series. Pi ha sido calculada con cien millones de cifras decimales utilizando ordenadores, aunque esta precisión carece de utilidad práctica."
lunes, 8 de diciembre de 2008
Numeros Chinos
Historia de la numeración china
En 1889 se hizo un importante descubrimiento en el lugar arqueológico del pueblo de Xiao Dun en el distrito de Anyang de la provincia de Henan. Se descubrieron miles de huesos y caparazones de tortuga con inscripciones de antiguos caracteres chinos. El lugar fue la capital de los reyes de la dinastía de los Últimos Zhang (esta época de los Últimos Shang es conocida también como dinastía Yin) desde el siglo XIV a.C. Los últimos doce reyes Zhang gobernaron aquí hasta aproximadamente el año 1045 a.C. Los huesos y caparazones de tortuga habían sido usados como parte de ceremonias religiosas. Se inscribían preguntas en un lado de los caparazones, el otro lado se ponía al calor de un fuego y los trozos que aparecían se interpretaban como las respuestas a esas preguntas que daban los ancestros. La importancia de estos hallazgos, en lo que respecta al aprendizaje sobre el antiguo sistema de numeración chino, fue que muchas de las inscripciones contenían información numérica acerca de hombres perdidos en combate, prisioneros tomados, número de sacrificios hechos, cantidad de animales cazados, número de días o meses, etc. El sistema numérico que se usaba para expresar esta información numérica estaba basado en el sistema decimal y era tanto aditivo como multiplicativo en su naturaleza. He aquí una selección de los símbolos que se usaban:
Al decir que tiene propiedades multiplicativas queremos decir que 200 está representado por el símbolo del 2 y el del 100, 300 está representado por el símbolo del 3 y del 100, 400 por el símbolo del 4 y del 100, etc. De forma similar, 2000 se representa mediante el símbolo del 2 y el del 1000, 3000 por el del 3 y el del 1000, 4000 por el del 4 y el del 1000, etc. Había también un símbolo para 10 000 que no se incluye en la ilustración pero que tiene forma de escorpión. Sin embargo, los números más grandes no se han encontrado, el número mayor descubierto en los huesos y caparazones de tortuga de los Shang es 30 000. La naturaleza aditiva del sistema quiere decir que los símbolos se yuxtaponían para indicar adición, así que 4359 se representaba por el símbolo para 4000 seguido del símbolo para 300, seguido del de 50 seguido del 9. De esta forma aparecería el 4359:
Ahora bien, este sistema no es posicional, por lo que no había necesidad de un cero. Por ejemplo, este es el número 5080:
Como no hemos ilustrado muchos números hasta ahora, éste es un ejemplo más de un número oracular chino, aquí está el 8873:
Hay una buena cantidad de preguntas fascinantes que se pueden realizar acerca de este sistema numérico. Aunque la representación de los números 1, 2, 3, 4 necesita poca explicación, la pregunta sobre por qué se usan símbolos particulares para los otros dígitos es mucho menos obvia. Se han propuesto dos teorías. La primera teoría sugiere que los símbolos son fonéticos. Con esto queremos decir que puesto que el número nueve parece un anzuelo, entonces quizás el sonido de la palabra para 'nueve' en chino antiguo esté cerca del sonido para la palabra 'anzuelo'. Asimismo, el símbolo para 1000 es un 'hombre' así que quizás la palabra para 'mil' en chino antiguo fuese cercana al sonido de la palabra para 'hombre'. Para tomar un ejemplo del inglés, el número 10 se pronuncia 'ten'. Esto suena como 'hen (gallina)' así un símbolo para una gallina puede ser apropiado, quizás modificado para que el lector supiera que el símbolo representaba 'diez (ten)' más que 'gallina (hen)'. Una segunda teoría acerca de los símbolos viene del hecho de que los números, y de hecho toda la escritura en este período de los Últimos Shang, se usaban sólo como parte de ceremonias religiosas. Hemos explicado antes cómo las inscripciones eran usadas por adivinos, que eran los sacerdotes de la época, en sus ceremonias. Esta teoría sugiere que los símbolos numéricos tienen significación religiosa. Por supuesto, es posible que alguno de los símbolos se expliquen por la primera de estas teorías, mientras otros sean explicados por la segunda. Además, símbolos como el escorpión pueden simplemente haberse usado porque los enjambres de escorpiones significaban 'un número grande' para la gente de esa época. Quizás el símbolo para el 100 representa un dedo del pie (sí que parece uno), y uno puede explicar esto si la gente de la época contaba hasta 10 con sus dedos, luego 100 por cada dedo del pie y luego 1000 por la 'persona', contando así 'todas' las partes del cuerpo. Los símbolos que hemos ilustrado evolucionaron algo en el tiempo pero fueron sorprendentemente estables en la forma.
Sin embargo, una segunda forma de números chinos empezó a usarse a partir del siglo IV a.C. cuando empezaron a utilizarse los tableros de cuentas. Un tablero de cuentas consistía en un tablero con filas y columnas. Los números se representaban por pequeñas varillas de bambú o marfil. Un número estaba formado en una fila con las unidades situadas en la columna más a la derecha, las decenas en la siguiente columna a la izquierda, las centenas en la siguiente a la derecha, etc. La propiedad más significativa de representar números de este modo en el tablero de cuentas era que era un sistema natural de valor por posición. Un uno en la columna más a la derecha representaba 1, mientras que un uno en la columna adyacente a la izquierda representaba 10, etc. Ahora bien, los números del 1 al 9 tenían que ser formados por las varillas y se encontró una forma muy natural de hacerlo. Aquí están dos posibles representaciones:
El problema más grande con esta notación fue que podría llevar a una confusión. ¿Qué era ? Podría ser 3, o 21 o 12 o incluso 111. Las varillas se pueden mover ligeramente a lo largo de la fila o que no estar centradas en los cuadros, y en ese caso conducirían a un número diferente del que se quiere representar. Los chinos adoptaron una inteligente manera de evitar este problema. Usaron ambas formas de los números de la ilustración anterior. En la columna de las unidades usaron la forma de la fila inferior, mientras que en la columna de las decenas usaron la forma de la columna superior, continuando alternadamente. Por ejemplo, 1234 se representa en el tablero de cuentas como:
y el 45698 como:
Seguía sin haber necesidad del cero en el tablero de cuentas, simplemente se dejaba un cuadro en blanco. Las formas alternantes de los números ayudaban a mostrar que se había añadido un espacio. Por ejemplo, 60390 se representaría como:
Los antiguos textos aritméticos describían cómo llevar a cabo operaciones aritméticas en el tablero de cuentas. Por ejemplo, Sun Zi, en el primer capítulo del Suní suanjing (Manual de Matemáticas de Sun Zi), da instrucciones para usar varillas de cuentas para multiplicar, dividir y calcular raíces cuadradas. El libro Xuzhou Yang suanjing (Manual de Matemáticas de Xiahou Yang) escrito en el siglo V d.C. indica que para multiplicar un número por 10, 100, 1000 ó 10 000 todo lo que necesita hacerse es que las varillas del tablero de cuentas se muevan a la izquierda 1, 2, 3 ó 4 cuadros. De forma similar, para dividir por 10, 100, 1000 ó 10 000 las varillas se mueven a la derecha 1, 2, 3 ó 4 cuadros. Lo que es significativo aquí es que Xiahou Yang parece entender no sólo las potencias positivas de 10 si no también las fracciones decimales como potencias negativas de 10. Esto ilustra la importancia de usar números de tableros de cuentas. Ahora bien, los números de los tableros de cuentas chinos no se usaban sólo en un tablero de cuentas, aunque éste es claramente su origen. Se usaron en textos escritos, particularmente textos matemáticos, y la potencia de la notación de valor por posición condujo a significativos avances de los chinos. En particular el 'tian yuan' o 'método de arreglos de coeficientes&qouot; o 'método de la incógnita celeste' desarrollado fuera del sistema de representación numérica del tablero de cuentas. Esta era una notación para una ecuación y Li si da la más temprana fuente del método, aunque debe haber sido inventada antes de su tiempo.
Alrededor del siglo XIV d.C. el ábaco entró en China. Ciertamente éste, como el tablero de cuentas, parece haber sido una invención china. En muchas formas, era similar al tablero de cuentas, excepto que en vez de usar varillas para representar números, se representaban mediante cuentas que se deslizan por un alambre. Las reglas aritméticas para el ábaco eran análogas a las del tablero de cuentas (incluso se podían calcular las raíces cuadradas y cúbicas) pero parece que el ábaco era usado casi exclusivamente por mercaderes que sólo lo utilizaban para operaciones de suma y resta. Se muestra aquí una ilustración de un ábaco con el número 46802.
Para números hasta 4 se desliza el número requerido de cuentas de la parte baja hasta la barra del medio. Por ejemplo en la parte derecha, está representado el número 2. Para cinco o más, se desliza una cuenta bajándola hacia la barra del medio (lo que representa 5), y 1, 2, 3 ó 4 cuentas hasta la barra del medio para los números 6, 7, 8 ó 9 respectivamente. Por ejemplo en el alambre tres, desde la derecha, se representa el número 8 (5 por la cuenta de arriba y 3 por las cuentas de abajo). Uno puede preguntar razonablemente por qué cada alambre contiene suficientes cuentas para representar 15. Esto era para hacer más fácil el trabajo intermedio para que de hecho números mayores de 9 pudieran ser almacenados en un sólo alambre durante un cálculo, aunque al final, tales 'me llevo' tendrían que ser sumados al alambre a la izquierda. Bibliografía
G Ifrah, The universal history of numbers (London, 1998).
J-C Martzloff, A history of Chinese mathematics (Berlin-Heidelberg, 1997).
J-C Martzloff, Histoire des mathematicas chi noises (Paris, 1987).
F C Scesney, The Chinese abacus (New York, 1944).
D C Cheng, The use of computing rods in China, Archive der Mathematik und Physic 32 (1925), 492-499.
J Needham, Mathematics and the science of the heavens and the earth, in J Needham, Science and civilization in China (Cambridge, 1959).
En 1889 se hizo un importante descubrimiento en el lugar arqueológico del pueblo de Xiao Dun en el distrito de Anyang de la provincia de Henan. Se descubrieron miles de huesos y caparazones de tortuga con inscripciones de antiguos caracteres chinos. El lugar fue la capital de los reyes de la dinastía de los Últimos Zhang (esta época de los Últimos Shang es conocida también como dinastía Yin) desde el siglo XIV a.C. Los últimos doce reyes Zhang gobernaron aquí hasta aproximadamente el año 1045 a.C. Los huesos y caparazones de tortuga habían sido usados como parte de ceremonias religiosas. Se inscribían preguntas en un lado de los caparazones, el otro lado se ponía al calor de un fuego y los trozos que aparecían se interpretaban como las respuestas a esas preguntas que daban los ancestros. La importancia de estos hallazgos, en lo que respecta al aprendizaje sobre el antiguo sistema de numeración chino, fue que muchas de las inscripciones contenían información numérica acerca de hombres perdidos en combate, prisioneros tomados, número de sacrificios hechos, cantidad de animales cazados, número de días o meses, etc. El sistema numérico que se usaba para expresar esta información numérica estaba basado en el sistema decimal y era tanto aditivo como multiplicativo en su naturaleza. He aquí una selección de los símbolos que se usaban:
Al decir que tiene propiedades multiplicativas queremos decir que 200 está representado por el símbolo del 2 y el del 100, 300 está representado por el símbolo del 3 y del 100, 400 por el símbolo del 4 y del 100, etc. De forma similar, 2000 se representa mediante el símbolo del 2 y el del 1000, 3000 por el del 3 y el del 1000, 4000 por el del 4 y el del 1000, etc. Había también un símbolo para 10 000 que no se incluye en la ilustración pero que tiene forma de escorpión. Sin embargo, los números más grandes no se han encontrado, el número mayor descubierto en los huesos y caparazones de tortuga de los Shang es 30 000. La naturaleza aditiva del sistema quiere decir que los símbolos se yuxtaponían para indicar adición, así que 4359 se representaba por el símbolo para 4000 seguido del símbolo para 300, seguido del de 50 seguido del 9. De esta forma aparecería el 4359:
Ahora bien, este sistema no es posicional, por lo que no había necesidad de un cero. Por ejemplo, este es el número 5080:
Como no hemos ilustrado muchos números hasta ahora, éste es un ejemplo más de un número oracular chino, aquí está el 8873:
Hay una buena cantidad de preguntas fascinantes que se pueden realizar acerca de este sistema numérico. Aunque la representación de los números 1, 2, 3, 4 necesita poca explicación, la pregunta sobre por qué se usan símbolos particulares para los otros dígitos es mucho menos obvia. Se han propuesto dos teorías. La primera teoría sugiere que los símbolos son fonéticos. Con esto queremos decir que puesto que el número nueve parece un anzuelo, entonces quizás el sonido de la palabra para 'nueve' en chino antiguo esté cerca del sonido para la palabra 'anzuelo'. Asimismo, el símbolo para 1000 es un 'hombre' así que quizás la palabra para 'mil' en chino antiguo fuese cercana al sonido de la palabra para 'hombre'. Para tomar un ejemplo del inglés, el número 10 se pronuncia 'ten'. Esto suena como 'hen (gallina)' así un símbolo para una gallina puede ser apropiado, quizás modificado para que el lector supiera que el símbolo representaba 'diez (ten)' más que 'gallina (hen)'. Una segunda teoría acerca de los símbolos viene del hecho de que los números, y de hecho toda la escritura en este período de los Últimos Shang, se usaban sólo como parte de ceremonias religiosas. Hemos explicado antes cómo las inscripciones eran usadas por adivinos, que eran los sacerdotes de la época, en sus ceremonias. Esta teoría sugiere que los símbolos numéricos tienen significación religiosa. Por supuesto, es posible que alguno de los símbolos se expliquen por la primera de estas teorías, mientras otros sean explicados por la segunda. Además, símbolos como el escorpión pueden simplemente haberse usado porque los enjambres de escorpiones significaban 'un número grande' para la gente de esa época. Quizás el símbolo para el 100 representa un dedo del pie (sí que parece uno), y uno puede explicar esto si la gente de la época contaba hasta 10 con sus dedos, luego 100 por cada dedo del pie y luego 1000 por la 'persona', contando así 'todas' las partes del cuerpo. Los símbolos que hemos ilustrado evolucionaron algo en el tiempo pero fueron sorprendentemente estables en la forma.
Sin embargo, una segunda forma de números chinos empezó a usarse a partir del siglo IV a.C. cuando empezaron a utilizarse los tableros de cuentas. Un tablero de cuentas consistía en un tablero con filas y columnas. Los números se representaban por pequeñas varillas de bambú o marfil. Un número estaba formado en una fila con las unidades situadas en la columna más a la derecha, las decenas en la siguiente columna a la izquierda, las centenas en la siguiente a la derecha, etc. La propiedad más significativa de representar números de este modo en el tablero de cuentas era que era un sistema natural de valor por posición. Un uno en la columna más a la derecha representaba 1, mientras que un uno en la columna adyacente a la izquierda representaba 10, etc. Ahora bien, los números del 1 al 9 tenían que ser formados por las varillas y se encontró una forma muy natural de hacerlo. Aquí están dos posibles representaciones:
El problema más grande con esta notación fue que podría llevar a una confusión. ¿Qué era ? Podría ser 3, o 21 o 12 o incluso 111. Las varillas se pueden mover ligeramente a lo largo de la fila o que no estar centradas en los cuadros, y en ese caso conducirían a un número diferente del que se quiere representar. Los chinos adoptaron una inteligente manera de evitar este problema. Usaron ambas formas de los números de la ilustración anterior. En la columna de las unidades usaron la forma de la fila inferior, mientras que en la columna de las decenas usaron la forma de la columna superior, continuando alternadamente. Por ejemplo, 1234 se representa en el tablero de cuentas como:
y el 45698 como:
Seguía sin haber necesidad del cero en el tablero de cuentas, simplemente se dejaba un cuadro en blanco. Las formas alternantes de los números ayudaban a mostrar que se había añadido un espacio. Por ejemplo, 60390 se representaría como:
Los antiguos textos aritméticos describían cómo llevar a cabo operaciones aritméticas en el tablero de cuentas. Por ejemplo, Sun Zi, en el primer capítulo del Suní suanjing (Manual de Matemáticas de Sun Zi), da instrucciones para usar varillas de cuentas para multiplicar, dividir y calcular raíces cuadradas. El libro Xuzhou Yang suanjing (Manual de Matemáticas de Xiahou Yang) escrito en el siglo V d.C. indica que para multiplicar un número por 10, 100, 1000 ó 10 000 todo lo que necesita hacerse es que las varillas del tablero de cuentas se muevan a la izquierda 1, 2, 3 ó 4 cuadros. De forma similar, para dividir por 10, 100, 1000 ó 10 000 las varillas se mueven a la derecha 1, 2, 3 ó 4 cuadros. Lo que es significativo aquí es que Xiahou Yang parece entender no sólo las potencias positivas de 10 si no también las fracciones decimales como potencias negativas de 10. Esto ilustra la importancia de usar números de tableros de cuentas. Ahora bien, los números de los tableros de cuentas chinos no se usaban sólo en un tablero de cuentas, aunque éste es claramente su origen. Se usaron en textos escritos, particularmente textos matemáticos, y la potencia de la notación de valor por posición condujo a significativos avances de los chinos. En particular el 'tian yuan' o 'método de arreglos de coeficientes&qouot; o 'método de la incógnita celeste' desarrollado fuera del sistema de representación numérica del tablero de cuentas. Esta era una notación para una ecuación y Li si da la más temprana fuente del método, aunque debe haber sido inventada antes de su tiempo.
Alrededor del siglo XIV d.C. el ábaco entró en China. Ciertamente éste, como el tablero de cuentas, parece haber sido una invención china. En muchas formas, era similar al tablero de cuentas, excepto que en vez de usar varillas para representar números, se representaban mediante cuentas que se deslizan por un alambre. Las reglas aritméticas para el ábaco eran análogas a las del tablero de cuentas (incluso se podían calcular las raíces cuadradas y cúbicas) pero parece que el ábaco era usado casi exclusivamente por mercaderes que sólo lo utilizaban para operaciones de suma y resta. Se muestra aquí una ilustración de un ábaco con el número 46802.
Para números hasta 4 se desliza el número requerido de cuentas de la parte baja hasta la barra del medio. Por ejemplo en la parte derecha, está representado el número 2. Para cinco o más, se desliza una cuenta bajándola hacia la barra del medio (lo que representa 5), y 1, 2, 3 ó 4 cuentas hasta la barra del medio para los números 6, 7, 8 ó 9 respectivamente. Por ejemplo en el alambre tres, desde la derecha, se representa el número 8 (5 por la cuenta de arriba y 3 por las cuentas de abajo). Uno puede preguntar razonablemente por qué cada alambre contiene suficientes cuentas para representar 15. Esto era para hacer más fácil el trabajo intermedio para que de hecho números mayores de 9 pudieran ser almacenados en un sólo alambre durante un cálculo, aunque al final, tales 'me llevo' tendrían que ser sumados al alambre a la izquierda. Bibliografía
G Ifrah, The universal history of numbers (London, 1998).
J-C Martzloff, A history of Chinese mathematics (Berlin-Heidelberg, 1997).
J-C Martzloff, Histoire des mathematicas chi noises (Paris, 1987).
F C Scesney, The Chinese abacus (New York, 1944).
D C Cheng, The use of computing rods in China, Archive der Mathematik und Physic 32 (1925), 492-499.
J Needham, Mathematics and the science of the heavens and the earth, in J Needham, Science and civilization in China (Cambridge, 1959).
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